素数  班員 斉藤、広田、古畑、松島 

動機

私たちが素数について調べようと思った理由は、いつ習ったか覚えていない程身近で、授業でもあまり深く習ったことのない素数をより深く調べ、理解し、数学の知識を高め確かにしたいと思ったからだ。また、この素数の個数を求める式では数Uで習った対数と数Vで習うeの計算を用いた。そこにとても授業との関連性を感じたからだ。

 

研究内容

1素数とは何か

1より大きな正の整数nが1とn自身以外に約数をもたないときnは素数であるという。また、1でも素数でもない正の整数を合成数という。(注  1は素数ではない)

 例:313以外に約数を持たないので、素数である。

    414以外に2を約数に持つので、合成数である。  

 

2エラトステネスのふるい


 偶数は2nという式で表されるので、必要ならばいつでも作ることができる。しかし、素数は出現の規則性がわからない。そこで、エラトステネスの篩という方法を使う。整数の集合から素数だけをふるいだす方法だ。まず、2の倍数を取り除き、次に3の倍数を・・というようにしていき、最終的に素数のみを残すという仕組みである。

3103は素数かどうか

103が素数かどうか調べる一番単純な方法は、1とその数以外のすべての数で割ることである。          例:103÷2103÷3103÷4、・・・103÷101103÷102

 

だが、この方法では時間がかかりすぎる。そこで、一番簡単に判別できる方法はというと、

その数の正の平方根を超えない最大の素数までのすべての数で割ることである。

例:√103は約10なので、1032,3,5,74つの素数で割ってみる。

どうしてこのような方法で判別できるのかは、次のとおりである。

 

(1)、なぜ平方根までの数でよいのか

32なら、1,2,4,8,16,32といった具合に、数には約数があり、約数には、掛け合わせると、元の数になる、つまり、対になる数がありこの数が折り返しているのが平方根なのである。

 

(2)、なぜ素数だけでよいのか

整数には、素数と合成数があり、合成数は素数の積に分けられる。

よって合成数を構成している素数で割れば、合成数で割る必要はなくなるのだ。

例:103÷251あまり1なので、1032では割り切れない。

ここで、103÷4103÷(2×2)と変形される。

  1032で割り切れないことがわかっているので、もう4で割る必要は無い。

 

4素数の個数を求めてみよう

(1)        eとは


このような式がある。この式には極限値が存在し、2.718281828459045・・・であることが知られている。この値をeという。

 


(2) 素数の個数の近似式

1で説明したeを使って素数の個数の近似値を求める式があり、その代表が「素数定理」と「ルジャンドルの近似式」の2つである。

 


3)素数定理とルジャンドルの近似式

<素数定理>(底の変換公式で変形)  <ルジャンドルの近似式>

 

 

(4) 表とグラフに見る素数定理とルジャンドルの近似式


 


5フェルマー素数

5角形や正17角形が作図出来るということを不思議に思わないだろうか?このフェルマー素数は作図と深い関わりがある。(これについての説明は、大学の数学の知識が必要だ)

奇数を2n-1と表せるように、素数を表す式に、メルセンヌは、M2-1という形の数を考えたのだが、フェルマーは、F=2+1 という型の数を考えた。

そこで、Fが素数であるためには、k=1、m=で、

F=+1

となることが必要だ。十分かどうか、つまりこの形の整数が素数であるかどうかはこれだけではわからない。

しかし実をいうとこのフェルマー数はオイラーによってFが素数ではなく、因数分解できてしまうことがわかっている。

はじめにフェルマーの予想をいくつか書いてみよう。

   F0=2+1=3

F1=2+1=5

F2=2+1=17 etc・・・

このフェルマーの予想によって表された素数はすべて図によって表すことができる。

 

<作図の持つ意味>ルートの長さはコンパスと定規を使って書き表すことが出来る。例えば、角ABCを90度とする直角三角形の辺AB1、辺BC2とすると、その斜辺ACとなる。

6正5角形を作図してみよう

(1) 直線を一本引く。これが正5角形の辺になる。

(2) 直線の両端A.Bから同じ半径の円を描く。

(3) そして直線ABの中点Cを決め、垂線を引く。

(4) なお、垂線の上の部分のみを利用する。

(5) 直線ABの長さをコンパスで測り、垂線において、Cから同じ長さの点を決め、これをDとする。

(6) Aと点Dを通る直線を引く。

(7) 直線ACの長さをコンパスで測り、ADの延長上の直線において、Dから同じ長さの

決め、これをEとする。

(8) コンパスの針をAにおいて、Eを半径とする円を描き、垂線との交点をFとします。

(9) 直線ABの長さをコンパスで測り、その長さを半径とし、点A,B,Fを中心として円を描く。


(10) それぞれの交点からA,B,Fへ直線を引くと正5角形になる。 

まとめ、考察

今回、素数についていろいろなことを学び、まとめてきた。実際に研究してみると、素数はとても奥深いということが分かった。さらにコンピューターを使って素数のプログラム作りに挑戦したいと思っている。

最後に,この課題研究は私たちにとって大変有意義な時間だった。このような経験をさらに積んでいきたいと思う。

 

参考文献> 「素数入門」   講談社ブルーバックス   芹沢正三著