黄金比とフィボナッチ数

メンバー:木下、田村、平野、柳瀬

1.  黄金比とは?

 黄金比とは、図形的、数学的に最も均斉のとれた比率をいう。

 均斉とは言っても人にとって異なるが、黄金比と呼ばれる比が最も美しいと言われている。

 一般に黄金比とは1:という比率である。  

テキスト ボックス: 1.6テキスト ボックス: 1皆さんの使っている机にも黄金比が成り立っている。

 

 

 

(1)   テキスト ボックス:  左図は正三角形とその外接円である。
 一辺の中点をA、もう一辺の中点をBとすると,その二点を結ぶ直線と外接円との交点の一方をCとする。 この図形の線分AB,ACの間においても黄金比が成り立っている。
図形的黄金比

様々な均斉のとれた図形では黄金比が成り立っている。

ここではその図形を紹介していく。

テキスト ボックス: ・面積と黄金比

 


 


テキスト ボックス: ・正三角形と黄金比テキスト ボックス:  左図は線分ABをa:bに分割し,小さい方の線分(b)と全体(a+b)とでできる長方形と、大きい方の線分(a)を一辺とする正方形で面積が等しい。
 このとき、a,bの間に黄金比が成り立っている。
 

 


 

 


を解に持つ方程式

 

 

 

より

 

 
(2)数学的黄金比

を代入して

 

これらに

 

 

 
 

 


 

という不変に続く分数と、無理数の形に変形出来る。

この様に黄金比は数としても美しい比である。

 
 

 

 

 

 

 

 

 

2.フィボナッチ数列と黄金比の関係

 

フィボナッチ数列とは

1,1,2,3,5,8,13,21、34,55,89,…

と続く数列である。漸化式で表すと

この数列の則は前の二つの項の和が次の項になっている。

 

 
 

 

 

 

 

 

 

 

 

左図のように細胞の数はフィボナッチ数列に則して増加していく。

 
 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


・黄金比とフィボナッチ数列との関係

フィボナッチ数列には隣同士の数を取るとその比が次第に黄金比に近づいていくという性質がある。

 

 

 


3.自然界と黄金比

自然界の様々な場面で黄金比が成り立っている。

 

 

というように、黄金比=1.6180339887...に近づいていく。

 
 

 

 


(1)黄金比と螺旋

円周360°を1:に分割する角度を黄金角という。

つまり、360°×=137.507764...°という角度になる。

・黄金角と円周                                                 

黄金角の間隔で物体を配置していくと、左図のようになかなか重ならない。

 この図の○を木々の葉だとすると、真上から陽を当てると陰にならない。

 つまり黄金角で枝の葉を配置すれば、太陽光線を最大限に受けられるので、木々にとっては最適である。

 

 
テキスト ボックス:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


 

上図の松笠やバラの花びらも黄金角で配置していった螺旋模様を描く。

 

(2)黄金比と枝の分岐

テキスト ボックス: 右図のように1本の枝が1年で成長し、2年掛けて分岐する。すると木はフィボナッチ数列に則して成長していく。
 つまり木々の成長にも黄金比が深く関わっている。

 

 

 

 

4.美術と黄金比について

・「ミロのヴィーナス」

・「ピラミッド」

・「ギリシャのパルテノン神殿」

1.6

 

 

 

1.6

 

5.考察

・図形的、数学的に均斉のとれた形や数値には必ずといってよいほど黄金比が成り立っている。

・また自然界や美術作品にもさまざまな形で黄金比が潜んでいる。このことから考えて黄金比は生命に本能的に備わった比率なのかもしれない。

 

 

 

パルテノン神殿

 

ピラミッド

 

ミロのヴィーナス

 

 

 
 下図のように、これらには黄金比が見られ、理想的な均斉美を保っている。

 

・黄金比が美しいと感ずる理由

人間は自然を見ると美しいと感じる

→自然界にはたくさんの黄金比があり,芸術作品の中にそれらを見出すとき人工物である芸術の印象と自然界の造形の印象が等価である,という安堵感が美しいと感じるからである。